Lei do seno e cosseno

Resolver triângulos é estabelecer um conjunto de cálculos que nos permitam determinar os lados, ângulos e outros segmentos do triângulo. A lei dos senos e dos cossenos, são utilizadas para a resolução de triângulos quaisquer.
Lei dos CossenosConsidere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

Para esses triângulos podemos escrever:
Em qualquer triângulo quando um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Lei dos SenosA lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.

A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo.

Trigonometria

1-) Em cada caso, calcule sen, cos e tg dos ângulos agudos dos triângulos retângulos abaixo.

2-) Um barco atravessa um rio de 80 m de largura, seguindo uma direção que forma 70° com a margem de partida. Qual a distância percorrida pelo barco? Quantos metros, em relação ao ponto de partida, ele se desloca rio abaixo ?

3-) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? Dados sen 15° = 0,259 e tg 15º = 0,268.

4-) Um guarda florestal, postado numa torre de 20 m no topo de uma colina de 500 m de altura,vê o início de um incêndio numa direção que forma com a horizontal um ângulo de 17º. A que distância aproximada da colina está o fogo? Use a tabela trigonométrica.

5-) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada em m?

6-)(Unimep-SP) Qual é a área do triângulo ABC da figura, na qual AB = 4 cm e BC = 2 cm?

1 - (Fuvest-2008) Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso,
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; 2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a (A)928(B) 1152(C) 1828(D) 2412(E) 3456


2 - (Unemat-2007/1) Na última Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (Pnad) os números mostraram que em 2002 havia 14,8 milhões de analfabetos na população, com idade superior a 15 anos. Em 2005, havia 14,6 milhões. Essa população de analfabetos diminuiu em:(A) 2 milhões.(B) 200 mil.(C) 2 milhões e 200 mil.(D) 220 mil. 20 mil.



3 - (UFMG-2007) Os irmãos Armando, Bernardo e Caio decidiram ajudar na reforma do piso da casa de seus pais, dividindo igualmente, entre eles, o custo de 100 m2 de cerâmica. Armando e Bernardo compraram, respectivamente, 60 m2 e 40 m2 da mesma cerâmica, pagando o mesmo preço pelo metro quadrado. Para acertar sua parte nessa compra, Caio pagou a seus dois irmãos um total de R$ 1 500,00. Sejam x a parte dessa quantia que coube a Armando e y a parte que coube a Bernardo, então, é CORRETO afirmar que o valor de x - y é:(A) R$ 200,00.(B) R$ 300,00.(C) R$ 500,00. (D)R$ 900,00. nenhuma das alternativas anteriores.



4 - (Fuvest-2007) Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar R$ 27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa? (A)R$ 136,00(B) R$ 138,00(C) R$ 140,00(D) R$ 142,00(E) R$ 144,00




5 - (UFG-2007) Para encher um recipiente de 5 litros, uma torneira gasta 12 segundos. Uma segunda torneira gasta 18 segundos para encher o mesmo recipiente. Nestas condições, para encher um tanque de 1000 litros, usando as duas torneiras ao mesmo tempo, serão necessários (A)20 minutos.(B) 24 minutos.(C) 33 minutos.(D) 50 minutos.(E) 83 minutos.



6 - (Mackenzie-2007) O menor valor de n, tal que a soma dos n primeiros termos da PA (36,29,22,...) seja negativa, é (A) 12 (B)9 (C)11 (D)8 (E)10




7 - (UFMT-2006/2) Um relógio analógico marca, num certo instante, 1 hora e 15 minutos. Admita que o ponteiro dos minutos, a partir desse instante, se movimente 36º. Nessas condições, o novo horário apresentado por esse relógio é (A)1 hora e 51 minutos.(B) 1 hora e 31 minutos.(C) 1 hora e 43 minutos. (D)1 hora e 36 minutos.(E) 1 hora e 21 minutos.


8 - (UECE-2008/1) A soma das coordenadas do centro da circunferência que tem raio medindo 1 u.c., que está situada no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta 4x - 3y = 0, é (A) 3 u.c.(B) 5 u.c. (C)4 u.c.(D) 6 u.c. (E)n.d.a.

Simulado de vestibular

1 - (UECE-2008/1) Em uma venda existem seis depósitos com capacidade de 15, 16, 18, 19, 20 e 31 litros, respectivamente. Um dos depósitos está cheio de nata e os outros estão cheios de leite ou de chocolate líquido. Se o volume de leite é o dobro do de chocolate líquido, a soma dos volumes de chocolate líquido e de nata existentes na venda é


(A)49 litros(B) 51 litros(C) 53 litros(D) 65 litros (E)n.d.a.




2 - (UECE-2008/1) A média aritmética de 50 números é 40. Dentre estes números estão os números 75, 125 e 155, os quais são suprimidos. A média aritmética dos 47 números restantes é:


(A)39 (B)37 (C)35 (D)33 (E)n.d.a.



3 - (Fuvest-2008) No próximo dia 08/12, Maria, que vive em Portugal, terá um saldo de 2.300 euros em sua conta corrente, e uma prestação a pagar no valor de 3.500 euros, com vencimento nesse dia. O salário dela é suficiente para saldar tal prestação, mas será depositado nessa conta corrente apenas no dia 10/12. Maria está considerando duas opções para pagar a prestação:
1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros de 2% ao dia sobre o saldo negativo diário em sua conta corrente, por dois dias; 2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma multa de 2% sobre o valor total da prestação.
Suponha que não haja outras movimentações em sua conta corrente. Se Maria escolher a opção 2, ela terá, em relação à opção 1, (A)desvantagem de 22,50 euros.(B) vantagem de 22,50 euros.(C) desvantagem de 21,52 euros. (D)vantagem de 21,52 euros.(E) vantagem de 20,48 euros.

4 - (UFG-2008) De acordo com diagnóstico do Banco Central a respeito de meios de pagamento de varejo no Brasil, no ano de 2006, constata-se que 24% dos pagamentos foram feitos com cheque e 46%, com cartão. O valor médio desses pagamentos foi de R$ 623,00 para os cheques e de R$ 65,00 para os cartões. O valor médio, quando se consideram todos os pagamentos efetuados com cheque e cartão, é, aproximadamente,(A) R$ 179,00. (B)R$ 240,00. (c)R$ 256,00. (D)R$ 302,00. (E)R$ 344,00.


5 - (UFSCar-2007) Considere P um ponto pertencente à reta (r) de equação 3x + 5y – 10 = 0 e equidistante dos eixos coordenados. A equação da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é (A) 10x – 6y – 5 = 0. (B)6x – 10y + 5 = 0.(C) 15x – 9y – 16 = 0.(D) 5x + 3y – 10 = 0. (E)15x – 3y – 4 = 0.


6 - (UEMS-2006) Do salário que recebo mensalmente, um quarto é destinado aos meus estudos, do que sobra gasto metade com transporte. Ainda destino um terço do restante à alimentação. Qual é o meu salário se ainda fico com R$ 200,00?(A) R$ 600,00 (B)R$ 800,00(C) R$ 700,00(D) R$ 820,00(E) R$ 650,00


7 - (UFMT-2006/2) Deseja-se instalar uma fábrica num lugar que seja eqüidistante dos municípios A, B e C. Admita que A, B e C são pontos não colineares de uma região plana e que o triângulo ABC é escaleno. Nessas condições, o ponto onde a fábrica deverá ser instalada é o centro da (A)circunferência que passa por A, B e C.(B) baricentro do triângulo ABC. (C)ponto médio do segmento BC.(D) ponto médio do segmento AB.(E) ponto médio do segmento AC.



8- (PUC-RS-2007) Um ponto se movimenta sobre um plano onde está situado um referencial cartesiano. Seu trajeto percorre a circunferência de equação x2 + y2 = 1 e seu deslocamento é feito a partir do ponto ( 1, 0 ) no sentido antihorário até a primeira interseção dessa circunferência com a reta y = x. Essa interseção é dada pelo ponto (A)(cos0º, sen0º) (B)(sen30º, cos30º)(C) (cos45º, sen45º)(D) (sen60º, cos60º) (E)(sen90º, cos90º)


Resposta:1c,2c,3c,4c,5a,6b,7a,8c

Trigonometria

Trigonometria e aplicações
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
Determinação da altura de um certo prédio.
Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.
Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
Triângulo Retângulo
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.
Para ver mais detalhes sobre triângulos clique aqui.
Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
Termo
Origem da palavra
Cateto
Cathetós:(perpendicular)
Hipotenusa
Hypoteinusa:Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:
Letra
Lado
Triângulo
Vértice = Ângulo
Medida
a
Hipotenusa
A = Ângulo reto
A=90°
b
Cateto
B = Ângulo agudo
B<90°
c
Cateto
C = Ângulo agudo
C<90°
Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.
Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
Ângulo
Lado oposto
Lado adjacente
C
c cateto oposto
b cateto adjacente
B
b cateto oposto
c cateto adjacente
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.
Propriedades do triângulo retângulo
Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.

A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
Projeções de segmentos
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.
Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.
Projeções no triângulo retângulo
Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
m = projeção de c sobre a hipotenusa.
n = projeção de b sobre a hipotenusa.
a = m+n.
h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica.
Relações Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.
Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Triângulo
hipotenusa
cateto maior
cateto menor
ABC
a
b
c
ADC
b
n
h
ADB
c
h
m
Assim:
a/b = b/n = c/ha/c = b/h = c/mb/c = n/h = h/m
logo:
a/c = c/m equivale a c² = a.ma/b = b/n equivale a b² = a.na/c = b/h equivale a a.h = b.ch/m = n/h equivale a h² = m.n
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
que resulta no Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.
Função
Notação
Definição
seno
sen(x)
medida do cateto oposto a x
medida da hipotenusa
cosseno
cos(x)
medida do cateto adjacente a x
medida da hipotenusa
tangente
tan(x)
medida do cateto oposto a x
medida do cateto adjacente a x
Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.
sen(x)=
CO
H
=
CO
1

cos(x)=
CA
H
=
CA
1

tan(x)=
CO
CA
=
sen(x)
cos(x)
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1

Lógica

1)
Uma operadora de telefonia celular tarifa o minuto de ligação em R$ 0,30 e oferece os seguintes planos:• Plano A: o cliente paga a quantia fixa de R$ 45,00, convertida em créditos para ligações e, excedendo os minutos correspondentes, paga a tarifa adicional de R$ 0,10 por minuto.• Plano B: o cliente paga a quantia fixa de R$ 60,00 convertida em créditos para ligações e paga a tarifa adicional de R$ 0,05 por minuto excedente.Assim, é INCORRETO deduzir desta descrição dos planos que:
a)
o plano B é mais vantajoso para o cliente com total de ligações excedendo 190 minutos.
b)
um cliente do plano B paga R$ 13,00 a mais que um cliente do plano A por 155 minutos de ligações.
c)
o total de 200 minutos de ligações correspondente a uma diferença positiva de R$ 6,00 entre os dois planos.
d)
a diferença positiva da tarifa, nos dois planos, correspondente a um total de 250 minutos equivale a 25 minutos de ligação.


2)
Considere uma pergunta e duas informações, as quais assumiremos como verdadeiras.Pergunta: João é mais alto do que Nuno?Informação 1: João é mais alto do que Luís.Informação 2: Nuno é mais alto do que Luís.A partir desses dados, conclui-se que:
a)
a primeira informação, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta, e a segunda, insuficiente.
b)
a segunda informação, sozinha, é suficiente para que se responda corretamente à pergunta, e a primeira, insuficiente.
c)
as duas informações, em conjunto, são suficientes para que se responda corretamente à pergunta, e cada uma delas, sozinha, é insuficiente.
d)
as duas informações, em conjunto, são insuficientes para que se responda corretamente à pergunta.
3)
Considere que as sentenças abaixo são verdadeiras.Se a temperatura está abaixo de 5 ºC, há nevoeiro.Se há nevoeiro, os aviões não decolam.Assim sendo, também é verdadeira a sentença:
a)
Se não há nevoeiro, os aviões decolam.
b)
Se não há nevoeiro, a temperatura está igual a ou acima de 5 ºC.
c)
Se os aviões não decolam, então há nevoeiro.
d)
Se há nevoeiro, então a temperatura está abaixo de 5 ºC.

4)
Um aluno de química, ao realizar uma experiência, formou uma massa de 10kg composta somente por água e por um produto X. 90% dessa massa era constituída de água. Após um processo de aquecimento da massa, o aluno verificou que apenas a água foi eliminada e que a participação desta na massa foi reduzida a 80%. O peso final total da massa, após o processo de aquecimento foi igual a:
a)
5kg
b)
2kg
c)
3kg
d)
4kg
5)
Um certo número X, formado por dois algarismos, é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. O valor absoluto da diferença entre os dois números (isto é, entre X e o número obtido pela inversão de seus algarismos) é o cubo de um número natural. A soma dos algarismos de X é, por conseguinte, igual a:
a)
7
b)
10
c)
13
d)
9

6)
No final de semana, Chiquita não foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana,
a)
Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.
b)
Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.
c)
Didi não estudou e Didi foi aprovado.
d)
Didi estudou e Chiquita foi ao parque.
7)
A função composta de duas funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) = sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a:
a)
f (-1)
b)
f (2)
c)
g (0)
d)
f (1)

8)
Paulo, João, Beto, Marcio e Alfredo estão numa festa. Sabendo-se que cada um deles possui diferentes profissões: advogado, administrador, psicólogo, físico e médico. Temos: o advogado gosta de conversar com beto, Marcio e João, mas odeia conversar com o médico Beto joga futebol com o físico Paulo, Beto e marcio jogam vôlei com o administrador alfredo move uma ação trabalhista contra o médico. Podemos afirmar que Paulo é....
a)
Paulo é o advogado, João é o administrador
b)
Alfredo é o advogado, Paulo é o médico.
c)
Marcio é o psicólogo, Alfredo é o médico
d)
Beto é o físico, Alfredo é o administrador


9)
Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Por fim, Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são, respectivamente:
a)
amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.
b)
vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela.
c)
vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.
d)
amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.


10)
A sentença abaixo pode ser substituída por apenas uma palavra.“Lugar apropriado para se guardar vinhos e outras bebidas” (5)Considerando que o número que aparece entre parênteses corresponde ao total de letras que compõem essa palavra, então a sua letra inicial é:
a)
A
b)
B
c)
C
d)
P

Resposta:1 c,2 d ,3 b,4 a ,5 d,6 a , 7 d ,8 b,9 d,10 a.